Selamat datang di Pintar Pelajaran sekolah! Pada artikel kali ini, kita akan membahas tentang kalkulus dan menyajikan 10 soal beserta jawabannya. Tanpa berlama-lama lagi, mari kita mulai!
Soal 1
Berapa turunan dari fungsi f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 4?
Jawaban:
Turunan dari f(x) adalah:
- f'(x) = 3x^2 – 4x + 3
Penjelasan:
- Untuk mencari turunan dari suatu fungsi, kita perlu menghitung turunan setiap suku di dalam fungsi tersebut.
- Turunan dari x^n adalah nx^(n-1).
- Dalam hal ini, kita memiliki:
- Turunan dari x^3 adalah 3x^2.
- Turunan dari 2x^2 adalah 4x.
- Turunan dari 3x adalah 3.
- Karena turunan dari konstanta adalah nol, maka turunan dari -4 adalah nol.
- Jadi, turunan dari f(x) adalah:
- f'(x) = 3x^2 – 4x + 3
Soal 2
Berapa nilai integral dari fungsi f(x) = 2x – 1 antara batas x = 0 dan x = 3?
Jawaban:
Nilai integral dari f(x) adalah:
- ∫[0,3] 2x – 1 dx = [x^2 – x] [0,3] = (9 – 3) – (0 – 0) = 6
Penjelasan:
- Untuk mencari nilai integral, kita perlu menghitung luas daerah di bawah kurva fungsi f(x) antara batas-batas tertentu.
- Dalam hal ini, kita memiliki:
- ∫[0,3] 2x – 1 dx = (x^2 – x) [0,3]
- Untuk menghitung nilai integral, kita perlu menghitung nilai fungsi tersebut pada batas atas dan batas bawah, lalu mengurangkan keduanya.
- Sehingga, nilai integral dari f(x) adalah:
- ∫[0,3] 2x – 1 dx = [x^2 – x] [0,3] = (9 – 3) – (0 – 0) = 6
Soal 3
Berapa turunan dari fungsi f(x) = √(x^2 + 1)?
Jawaban:
Turunan dari f(x) adalah:
- f'(x) = x / √(x^2 + 1)
Penjelasan:
- Untuk mencari turunan dari suatu fungsi yang melibatkan akar pangkat dua, kita perlu menggunakan aturan rantai.
- Dalam hal ini, kita memiliki:
- f(x) = √(x^2 + 1)
- Untuk mencari turunan, kita perlu menghitung turunan dari fungsi di dalam akar pangkat dua, yaitu x^2 + 1.
- Turunan dari x^2 + 1 adalah 2x.
- Kita perlu membagi turunan dari x^2 + 1 dengan 2√(x^2 + 1) untuk mendapatkan turunan dari f(x).
- Jadi, turunan dari f(x) adalah:
- f'(x) = x / √(x^2 + 1)
Soal 4
Hitunglah nilai dari lim x → 2 (x^2 + x – 6) / (x – 2).
Jawaban:
Nilai dari limit tersebut adalah:
- lim x → 2 (x^2 + x – 6) / (x – 2) = 5
Penjelasan:
- Untuk mencari nilai limit, kita perlu menghitung nilai fungsi tersebut ketika x mendekati nilai yang diberikan.
- Dalam hal ini, kita memiliki:
- lim x → 2 (x^2 + x – 6) / (x – 2)
- Untuk menghitung nilai limit, kita perlu mencari nilai fungsi ketika x mendekati 2 dari kedua arah (atas dan bawah).
- Jika kita mencoba menghitung nilai fungsi tersebut ketika x = 2, maka terdapat pembagian dengan nol yang tidak valid.
- Sehingga, kita perlu mencari nilai fungsi ketika x mendekati 2 dari kedua arah.
- Nilai fungsi ketika x mendekati 2 dari arah kiri adalah:
- lim x → 2- (x^2 + x – 6) / (x – 2) = -1
- Nilai fungsi ketika x mendekati 2 dari arah kanan adalah:
- lim x → 2+ (x^2 + x – 6) / (x – 2) = 7
- Karena nilai fungsinya berbeda antara kedua arah, maka limit tersebut tidak ada.
- Namun, jika kita mencoba menyederhanakan fungsi tersebut, maka kita dapat mencari nilai limitnya:
- lim x → 2 (x^2 + x – 6) / (x – 2) = lim x → 2 (x + 3) = 5
- Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 5.
Soal 5
Berapa nilai dari f(2) jika f(x) = 3x^3 – 4x^2 + 5x – 6?
Jawaban:
Nilai dari f(2) adalah:
- f(2) = 20
Penjelasan:
- Untuk mencari nilai fungsi pada suatu titik, kita perlu mengganti nilai x pada fungsi tersebut dengan nilai yang diberikan.
- Dalam hal ini, kita memiliki:
- f(x) = 3x^3 – 4x^2 + 5x – 6
- Kita perlu mencari nilai f(2).
- Sehingga, kita perlu mengganti nilai x pada fungsinya dengan 2:
- f(2) = 3(2)^3 – 4(2)^2 + 5(2) – 6 = 24 – 16 + 10 – 6 = 12
- Jadi, nilai dari f(2) adalah 12.
Soal 6
Berapa turunan dari fungsi f(x) = ln(x^2 + 1)?
Jawaban:
Turunan dari f(x) adalah:
- f'(x) = 2x / (x^2 + 1)
Penjelasan:
- Unt