Kumpulan Soal Kalkulus Beserta Jawabannya

Selamat datang di Pintar Pelajaran sekolah! Pada artikel kali ini, kita akan membahas tentang kalkulus dan menyajikan 10 soal beserta jawabannya. Tanpa berlama-lama lagi, mari kita mulai!

Soal 1

Berapa turunan dari fungsi f(x) = x^3 – 2x^2 + 3x – 4?

Jawaban:

Turunan dari f(x) adalah:

• f'(x) = 3x^2 – 4x + 3

Penjelasan:

• Untuk mencari turunan dari suatu fungsi, kita perlu menghitung turunan setiap suku di dalam fungsi tersebut.
• Turunan dari x^n adalah nx^(n-1).
• Dalam hal ini, kita memiliki:
• Turunan dari x^3 adalah 3x^2.
• Turunan dari 2x^2 adalah 4x.
• Turunan dari 3x adalah 3.
• Karena turunan dari konstanta adalah nol, maka turunan dari -4 adalah nol.
• Jadi, turunan dari f(x) adalah:
• f'(x) = 3x^2 – 4x + 3

Soal 2

Berapa nilai integral dari fungsi f(x) = 2x – 1 antara batas x = 0 dan x = 3?

Jawaban:

Nilai integral dari f(x) adalah:

• ∫[0,3] 2x – 1 dx = [x^2 – x] [0,3] = (9 – 3) – (0 – 0) = 6

Penjelasan:

• Untuk mencari nilai integral, kita perlu menghitung luas daerah di bawah kurva fungsi f(x) antara batas-batas tertentu.
• Dalam hal ini, kita memiliki:
• ∫[0,3] 2x – 1 dx = (x^2 – x) [0,3]
• Untuk menghitung nilai integral, kita perlu menghitung nilai fungsi tersebut pada batas atas dan batas bawah, lalu mengurangkan keduanya.
• Sehingga, nilai integral dari f(x) adalah:
• ∫[0,3] 2x – 1 dx = [x^2 – x] [0,3] = (9 – 3) – (0 – 0) = 6

Soal 3

Berapa turunan dari fungsi f(x) = √(x^2 + 1)?

Jawaban:

Turunan dari f(x) adalah:

• f'(x) = x / √(x^2 + 1)

Penjelasan:

• Untuk mencari turunan dari suatu fungsi yang melibatkan akar pangkat dua, kita perlu menggunakan aturan rantai.
• Dalam hal ini, kita memiliki:
• f(x) = √(x^2 + 1)
• Untuk mencari turunan, kita perlu menghitung turunan dari fungsi di dalam akar pangkat dua, yaitu x^2 + 1.
• Turunan dari x^2 + 1 adalah 2x.
• Kita perlu membagi turunan dari x^2 + 1 dengan 2√(x^2 + 1) untuk mendapatkan turunan dari f(x).
• Jadi, turunan dari f(x) adalah:
• f'(x) = x / √(x^2 + 1)

Soal 4

Hitunglah nilai dari lim x → 2 (x^2 + x – 6) / (x – 2).

Jawaban:

Nilai dari limit tersebut adalah:

• lim x → 2 (x^2 + x – 6) / (x – 2) = 5

Penjelasan:

• Untuk mencari nilai limit, kita perlu menghitung nilai fungsi tersebut ketika x mendekati nilai yang diberikan.
• Dalam hal ini, kita memiliki:
• lim x → 2 (x^2 + x – 6) / (x – 2)
• Untuk menghitung nilai limit, kita perlu mencari nilai fungsi ketika x mendekati 2 dari kedua arah (atas dan bawah).
• Jika kita mencoba menghitung nilai fungsi tersebut ketika x = 2, maka terdapat pembagian dengan nol yang tidak valid.
• Sehingga, kita perlu mencari nilai fungsi ketika x mendekati 2 dari kedua arah.
• Nilai fungsi ketika x mendekati 2 dari arah kiri adalah:
• lim x → 2- (x^2 + x – 6) / (x – 2) = -1
• Nilai fungsi ketika x mendekati 2 dari arah kanan adalah:
• lim x → 2+ (x^2 + x – 6) / (x – 2) = 7
• Karena nilai fungsinya berbeda antara kedua arah, maka limit tersebut tidak ada.
• Namun, jika kita mencoba menyederhanakan fungsi tersebut, maka kita dapat mencari nilai limitnya:
• lim x → 2 (x^2 + x – 6) / (x – 2) = lim x → 2 (x + 3) = 5
• Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 5.

Soal 5

Berapa nilai dari f(2) jika f(x) = 3x^3 – 4x^2 + 5x – 6?

Jawaban:

Nilai dari f(2) adalah:

• f(2) = 20

Penjelasan:

• Untuk mencari nilai fungsi pada suatu titik, kita perlu mengganti nilai x pada fungsi tersebut dengan nilai yang diberikan.
• Dalam hal ini, kita memiliki:
• f(x) = 3x^3 – 4x^2 + 5x – 6
• Kita perlu mencari nilai f(2).
• Sehingga, kita perlu mengganti nilai x pada fungsinya dengan 2:
• f(2) = 3(2)^3 – 4(2)^2 + 5(2) – 6 = 24 – 16 + 10 – 6 = 12
• Jadi, nilai dari f(2) adalah 12.

Soal 6

Berapa turunan dari fungsi f(x) = ln(x^2 + 1)?

Jawaban:

Turunan dari f(x) adalah:

• f'(x) = 2x / (x^2 + 1)

Penjelasan:

• Unt