Kumpulan Soal Integral Beserta Jawabannya

Integral adalah salah satu materi penting dalam matematika. Untuk memahami integral dengan lebih baik, kami telah menyiapkan kumpulan soal beserta jawabannya. Mari kita simak!

Soal 1

Hitunglah integral dari fungsi f(x) = 3x2 + 2x + 1.

Jawaban:

Untuk menghitung integral dari fungsi f(x), kita dapat menggunakan rumus integral umum sebagai berikut:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Dimana F(x) adalah turunan dari f(x) dan C adalah konstanta integrasi. Dalam hal ini, kita perlu menentukan turunan dari fungsi f(x) terlebih dahulu:

f'(x) = 6x + 2

Sehingga:

∫ f(x) dx = ∫ (3x2 + 2x + 1) dx = x3 + x2 + x + C

Jadi integral dari fungsi f(x) adalah x3 + x2 + x + C.

Soal 2

Hitunglah integral dari fungsi f(x) = 4x3 – 5x2 + 2x.

Jawaban:

Untuk menghitung integral dari fungsi f(x), kita perlu menentukan turunan dari fungsi tersebut terlebih dahulu:

f'(x) = 12x2 – 10x + 2

Sehingga:

∫ f(x) dx = ∫ (4x3 – 5x2 + 2x) dx = x4 – (5/3)x3 + x2 + C

Jadi integral dari fungsi f(x) adalah x4 – (5/3)x3 + x2 + C.

Soal 3

Hitunglah integral dari fungsi f(x) = e2x.

Jawaban:

Untuk menghitung integral dari fungsi f(x), kita perlu menggunakan aturan rantai (chain rule) pada turunan dari fungsi e2x, yang adalah 2e2x:

f'(x) = 2e2x

Sehingga:

∫ f(x) dx = ∫ e2x dx = (1/2) e2x + C

Jadi integral dari fungsi f(x) adalah (1/2) e2x + C.

Soal 4

Hitunglah integral dari fungsi f(x) = 1 / (x + 2).

Jawaban:

Untuk menghitung integral dari fungsi f(x), kita perlu menggunakan aturan substitusi dengan mengganti x + 2 = u dan dx = du:

∫ f(x) dx = ∫ 1 / (x + 2) dx = ∫ 1 / u du = ln |u| + C

Sehingga:

∫ f(x) dx = ln |x + 2| + C

Jadi integral dari fungsi f(x) adalah ln |x + 2| + C.

Soal 5

Hitunglah integral dari fungsi f(x) = sin(x) cos(x).

Jawaban:

Untuk menghitung integral dari fungsi f(x), kita perlu menggunakan aturan substitusi dengan mengganti sin(x) = u dan cos(x) du = du:

∫ f(x) dx = ∫ sin(x) cos(x) dx = ∫ u du = (1/2) sin2 (x) + C

Jadi integral dari fungsi f(x) adalah (1/2) sin2 (x) + C.

Soal 6

Hitunglah integral dari fungsi f(x) = 2 / (x2 + 4x + 5).

Jawaban:

Untuk menghitung integral dari fungsi f(x), kita perlu menggunakan aturan substitusi dengan mengganti x2 + 4x + 5 = u dan (2x + 4) dx = du:

∫ f(x) dx = ∫ 2 / (x2 + 4x + 5) dx = ∫ 1 / u du = (1/2) ln |x2 + 4x + 5| + C

Jadi integral dari fungsi f(x) adalah (1/2) ln |x2 + 4x + 5| + C.

Soal 7

Hitunglah integral dari fungsi f(x) = 1 / (x2 – 4x + 13).

Jawaban:

Untuk menghitung integral dari fungsi f(x), kita perlu menggunakan aturan substitusi dengan mengganti x2 – 4x + 13 = u dan (2x – 4) dx = du:

∫ f(x) dx = ∫ 1 / (x2 – 4x + 13) dx = (1/2) ∫ 1 / (u + 9) du – (1/2) ∫ 1 / (u + 1) du

Setelah itu, kita bisa menggunakan aturan substitusi lagi dengan mengganti u + 9 = v dan du = dv:

∫ f(x) dx = (1/2) ln |x2 – 4x + 13| – (1/2) ln |x2 – 4x + 5| + C

Jadi integral dari fungsi f(x) adalah (1/2) ln |x2 – 4x + 13| – (1/2) ln |x2 – 4x + 5| + C.

Soal 8

Hitunglah integral dari fungsi f(x) = 1 / (x3 + 3x2 + 3x + 1).

Jawaban:

Untuk menghitung integral dari fungsi f(x), kita perlu menggunakan aturan substitusi dengan mengganti x + 1 = u dan dx = du:

∫ f(x) dx = ∫ 1 / (x3 + 3x2 + 3x + 1) dx = ∫ 1 / (u3 – u) du

Kita dapat memecah pecahan menjadi 2 bagian:

∫ f(x) dx = ∫ 1 / u du – ∫ u / (u2 – 1) du

Bagian pertama dapat diselesaikan dengan mudah:

∫ 1 / u du = ln |u| + C = ln |x + 1| + C

Untuk bagian kedua, kita dapat menggunakan aturan substitusi lagi dengan mengganti u2

Leave a Comment