Kumpulan Soal dan Jawaban Limit Fungsi

Selamat datang di artikel Pintar Pelajaran tentang limit fungsi. Dalam artikel ini, kami akan memberikan contoh-contoh soal dan jawaban tentang limit fungsi beserta penjelasannya. Bagi kamu yang sedang belajar matematika atau ingin mengasah kemampuanmu dalam materi ini, yuk simak artikel ini sampai selesai!

Daftar Isi Artikel

Soal 1

Hitunglah limit fungsi berikut ini:

$\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-9}{x-3}$

Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa mencoba mengganti x dengan nilai mendekati 3 dari arah kiri dan kanan. Kita bisa membuat tabel seperti berikut:

x	f(x)
2.9	5.9
2.99	5.99
2.999	5.999
3.1	6.1
3.01	6.01
3.001	6.001

Dari tabel di atas, kita bisa melihat bahwa f(x) mendekati 6 ketika x mendekati 3 dari arah kiri dan kanan. Sehingga limit dari fungsi tersebut adalah:

$\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-9}{x-3}=6$

Soal 2

Hitunglah limit fungsi berikut ini:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x}$

Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa menggunakan aturan L’Hopital. Kita bisa turunkan baik pembilang maupun penyebut fungsi tersebut, sehingga:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos(x)}{1}=1$

Sehingga limit dari fungsi tersebut adalah 1.

Soal 3

Hitunglah limit fungsi berikut ini:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-3x}{3x^2+4x+1}$

Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa mencoba membagi pembilang dan penyebut dengan x^2. Sehingga:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-3x}{3x^2+4x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2-\frac{3}{x}}{3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}$

Kita bisa melihat bahwa saat x cenderung menuju tak hingga, maka pecahan pada penyebut yang berisi x akan semakin kecil, sehingga hanya suku tertinggi yang perlu kita perhatikan. Sehingga limit dari fungsi tersebut adalah:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-3x}{3x^2+4x+1}=\frac{2}{3}$

Soal 4

Hitunglah limit fungsi berikut ini:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$

Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa mencoba faktorkan pembilang dan penyebut. Sehingga:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x+1}{x+1}=2$

Sehingga limit dari fungsi tersebut adalah 2.

Soal 5

Hitunglah limit fungsi berikut ini:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2-3x}-\sqrt{x^2+x}\right)$

Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita bisa mencoba menghilangkan akar pada pembilang. Kita bisa mengalikan dan membagi dengan bentuk konjugat pada setiap akar. Sehingga:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2-3x}-\sqrt{x^2+x}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2-3x}-\sqrt{x^2+x}\right)\left(\sqrt{x^2-3x}+\sqrt{x^2+x}\right)}{\left(\sqrt{x^2-3x}+\sqrt{x^2+x}\right)}$